azure の Web UI のストレージタブは blob オブジェクトのストレージや SQL Server、そして vm にアタッチするようなディスクが透過的に扱われているのでかなりわかりにくい。なので、vm にディスクを追加する時はコマンドラインからえいやっとディスク作成するのがよい。
$ azure vm disk attach-new vmname 100
これで 100G のブランクディスクが作成されて、vmname の vm にアタッチされる。後は vm の中で sdc なりデバイスを適当に特定してから fdisk でパーティション切ってから mkfs でフォーマットして mount という流れで使えるようになる。この辺の作業、わかってはいるけど、いちいちやるのは面倒な奴なので、一連の流れが単独のコマンドで実現できる gcloud の方が良いかな。